Editing Curry's paradox (section)

=== Combinatory logic ===

Curry's paradox may also be expressed in [[combinatory logic]], which has equivalent expressive power to [[lambda calculus]]. Any lambda expression may be translated into combinatory logic, so a translation of the implementation of Curry's paradox in lambda calculus would suffice.

The above term <math>X</math> translates to <math>(r \ r)</math> in combinatory logic, where
<math display="block">r = \textsf{S} \ (\textsf{S} (\textsf{K} m) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I})) \ (\textsf{K} Z);</math>
hence<ref>
{{nowrap|1=<math>(r r)</math>}}
{{nowrap|1=<math>=</math>}}
{{nowrap|1=<math>(\textsf{S} (\textsf{S} (\textsf{K} m) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I})) (\textsf{K} Z) (\textsf{S} (\textsf{S} (\textsf{K} m) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I})) (\textsf{K} Z)))</math>}}
{{nowrap|1=<math>\to</math>}}
{{nowrap|1=<math>(\textsf{S} (\textsf{K} m) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I}) (\textsf{S} (\textsf{S} (\textsf{K} m) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I})) (\textsf{K} Z)) (\textsf{K} Z (\textsf{S} (\textsf{S} (\textsf{K} m) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I})) (\textsf{K} Z))))</math>}}
{{nowrap|1=<math>\to</math>}}
{{nowrap|1=<math>(\textsf{S} (\textsf{K} m) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I}) (\textsf{S} (\textsf{S} (\textsf{K} m) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I})) (\textsf{K} Z)) Z)</math>}}
{{nowrap|1=<math>\to</math>}}
{{nowrap|1=<math>(\textsf{K} m (\textsf{S} (\textsf{S} (\textsf{K} m) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I})) (\textsf{K} Z)) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I} (\textsf{S} (\textsf{S} (\textsf{K} m) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I})) (\textsf{K} Z))) Z)</math>}}
{{nowrap|1=<math>\to</math>}}
{{nowrap|1=<math>(m (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I} (\textsf{S} (\textsf{S} (\textsf{K} m) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I})) (\textsf{K} Z))) Z)</math>}}
{{nowrap|1=<math>\to</math>}}
{{nowrap|1=<math>(m (\textsf{I} (\textsf{S} (\textsf{S} (\textsf{K} m) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I})) (\textsf{K} Z)) (\textsf{I} (\textsf{S} (\textsf{S} (\textsf{K} m) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I})) (\textsf{K} Z)))) Z)</math>}}
{{nowrap|1=<math>\to</math>}}
{{nowrap|1=<math>(m (\textsf{S} (\textsf{S} (\textsf{K} m) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I})) (\textsf{K} Z) (\textsf{I} (\textsf{S} (\textsf{S} (\textsf{K} m) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I})) (\textsf{K} Z)))) Z)</math>}}
{{nowrap|1=<math>\to</math>}}
{{nowrap|1=<math>(m (\textsf{S} (\textsf{S} (\textsf{K} m) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I})) (\textsf{K} Z) (\textsf{S} (\textsf{S} (\textsf{K} m) (\textsf{S} \textsf{I} \textsf{I})) (\textsf{K} Z))) Z)</math>}}
{{nowrap|1=<math>=</math>}}
{{nowrap|1=<math>((m (r r)) \ Z)</math>}}
</ref>
<math display="block">(r \ r) = ((m (r r)) \ Z).</math>